Geometrija

Trigonometrija

Stačiojo trikampio smailiojo kampo:

• Sinusas - statinio, esančio prieš kampą, ir įžambinės santykis
  $sin\mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{a}{c}}$

• Kosinusas - statinio, esanšio prie kampo ir įžambinės santykis
  $cos\mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{b}{c}}$

• Tangentas - statinio, esančio prieš kampą, ir statinio, esanąčio prie kampo santykis
  $tg\mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$

• Kotangentas - statinio, esančio prie kampo ir statinio, esančio prie kampą, santykis
  $ctg\mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{b}{a}}$

Pagrindininių kampų $sin$, $cos$, $tg$, $ctg$ tikslios reikšmės

	$0\mathrm{°}$	$30\mathrm{°}$	$45\mathrm{°}$	$60\mathrm{°}$	$90\mathrm{°}$
$sin$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	$1$
$cos$	$1$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$0$
$tg$	$0$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	-
$ctg$	-	$\sqrt{3}$	$1$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$	$1$

Įrodymai

$\mathrm{△}ABC$ - statusis
$BC=a$;     $AB=2a$

Pitagoro teorema:
$c^2=a^2+b^2$
$A{C}^2=A{B}^2-B{C}^2$$=(2a{)}^2-a^2=4a^2-a^2=3a^2$
$AC=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$

$sin30\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{2a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$cos30\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$tg30\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{a\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$
$ctg30\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1}}=\sqrt{3}$

$sin60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$cos60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{2a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$tg60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{a}}=\sqrt{3}$
$ctg60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

---

$\mathrm{△}ABC$ - statusis
$AC=BC=a$

Pitagoro teorema:
$c^2=a^2+b^2$
$c^2=a^2+2a^2$
$c^2=2a^2$
$c^2=2a^2$
$c=a\sqrt{2}$

$sin45\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{a\sqrt{2}}}$$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$cos45\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{a\sqrt{3}}}$$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$tg45\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{a}}=1$
$ctg45\mathrm{°}={\displaystyle \frac{a}{a}}=1$

Trigonometrijos formulės

$sin\alpha ={\displaystyle \frac{BC}{AB}}$     $cos\alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$
$tg\alpha ={\displaystyle \frac{BC}{AC}}$     $ctg\alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$

Trigonometrinio vieneto formulė:
$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$$=({\displaystyle \frac{BC}{AB}}{)}^2+({\displaystyle \frac{AC}{AB}}{)}^2$$={\displaystyle \frac{B{C}^2}{A{B}^2}}+{\displaystyle \frac{A{C}^2}{A{B}^2}}$$={\displaystyle \frac{B{C}^2+A{C}^2}{A{B}^2}}$$={\displaystyle \frac{A{B}^2}{A{B}^2}}=1$

${\displaystyle \frac{sin\alpha }{cos\alpha }}=tg\alpha$

${\displaystyle \frac{sin\alpha }{cos\alpha }}$$={\displaystyle \frac{BC:AB}{AC:AB}}$$={\displaystyle \frac{BC}{AB}}:{\displaystyle \frac{AC}{AB}}$$={\displaystyle \frac{BC}{AB}}\cdot {\displaystyle \frac{AB}{AC}}$$=tg\alpha$

${\displaystyle \frac{cos\alpha }{sin\alpha }}=ctg\alpha$

${\displaystyle \frac{cos\alpha }{sin\alpha }}$$={\displaystyle \frac{AC:AB}{BC:AB}}$$={\displaystyle \frac{AC}{AB}}:{\displaystyle \frac{BC}{AB}}$$={\displaystyle \frac{AC}{AB}}\cdot {\displaystyle \frac{AB}{AB}}$$={\displaystyle \frac{AC}{AB}}=ctg\alpha$

${\displaystyle \frac{tg\alpha }{ctg\alpha }}=1$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha$$={\displaystyle \frac{BC}{AC}}\cdot {\displaystyle \frac{AC}{BC}}$$={\displaystyle \frac{BC}{BC}}=1$

---

$t{g}^2\alpha +1={\displaystyle \frac{1}{co{s}^2\alpha }}$

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$
${\displaystyle \frac{si{n}^2\alpha }{co{s}^2\alpha }}+{\displaystyle \frac{co{s}^2\alpha }{co{s}^2\alpha }}$$={\displaystyle \frac{1}{co{s}^2\alpha }}$

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

${\displaystyle \frac{si{n}^2\alpha }{si{n}^2\alpha }}+{\displaystyle \frac{co{s}^2\alpha }{si{n}^2\alpha }}$$={\displaystyle \frac{1}{si{n}^2\alpha }}$
$1+ct{g}^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{si{n}^2\alpha }}$

Apskritimas ir skritulys, jų dalyys

Centriniai ir įbrėžtiniai kampai

$⌣AB$ (senose knygose $\stackrel{⌣}{AB}$) - apskritimo lankas

$\mathrm{\angle }AOB$ - centrinis kampas

Apskritimų lankai gali būti matuojami ne tik $cm$ / $mm$ / $m$ / $dm$ / $...$, bet ir $\mathrm{°}$

Yra laikoma, kad apskritimo lankas turi tiek laispnių, kiek jį atitinkantis centrinis kampas.

Jei $\mathrm{\angle }AOB=70\mathrm{°}$, tai $⌣AB=70\mathrm{°}$

---

$\mathrm{\angle }ABC$ - įbrėžtinis kampas

Įbrėžtinis kampas - toks kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo.

Įbrėžtinis kampas $\mathrm{\angle }ABC$ remiasi į lanką $⌣AC$

Įbrėžtinis kampas yra dvigubai mažesnis negu lankas į kurį jis remiasi

Jei $\mathrm{\angle }ABC=30\mathrm{°}$, tai $⌣AC=60\mathrm{°}$

---

Jeigu centrinis ir įbrėžtinis kampai remiasi į tą pačia lanką, tai centrinis kampas dviubai didesnis už įbrėžtinę.

$\mathrm{\angle }AOB=2\cdot \mathrm{\angle }ACB$

---

Jeigu du įbrėžtiniai kampai remiasi į tą patį lanką, tai jie yra lygūs

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB$

---

Jeigu įbrėžtinis kampas remiasi į apskrtimo skersmenį, jis yra status.

$\mathrm{\angle }ACB=90\mathrm{°}$ ir $⌣180\mathrm{°}$

Apskritimo liestinė ir jos savybės

Tiesė $AB$ - apskritimo kirstinė

Tiesė $a$ - apskritimo liestinė

Liestinė su apskritimu turi vieną brendrą tašką

Liestinė yra statmena apskritimo spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką

---

$\mathrm{△}ABO$ - statusis
$A{B}^2=A{B}^2-B{O}^2=a^2-r^2$
$AB=\sqrt{a^2-r^2}$
$\mathrm{△}AOB=\mathrm{△}AOC$
$AB=AC$

Jeigu iš vieno taško nubrėžtos dvi apskritimo liestinės, tai atstumai nuo to taško iki lietimosi taškų yra lygūs.

---

$AE\cdot ED=CE\cdot ED$

$a\cdot m=c\cdot k$

$A{C}^2=AD\cdot AB$

Išpjovos lanko ilgis ir plotas

$C=2\pi r$

$l=C_{išpj.}={\displaystyle \frac{2\pi r}{360\mathrm{°}}}\cdot \alpha$

$S=\pi r^2$

$S_{išpj.}={\displaystyle \frac{\pi r^2}{360\mathrm{°}}}\cdot \alpha$

Nuopjova

$OM\perp AB$, tada

$AM=BM$

1. Brėžiame atkarpas $OA$ ir $OB$
2. $OA=OB=r$
3. $\mathrm{△}AOB$ - lygiašonis aukštinė $OM$ ya bendra
4. $AM=BM$

Uždaviniai su laikrodžio rodyklėmis

Minučių rodyklė:

Per $60min$ - $360\mathrm{°}$
Per $1min$ - $6\mathrm{°}$

$v_{min}=6{\displaystyle \frac{laispniai}{min}}$

Valandų rodyklė:

Per $60min$ - $360\mathrm{°}$
Per $1min$ - ${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{°}$

$v_{val}=0.5{\displaystyle \frac{laipsniai}{min}}$

Per $80min$ minučių rodyklė nueina $6\mathrm{°}\cdot 80=480\mathrm{°}$

Trikampiai

Ploto formulės

Lygiakraščio trikampio ploto formulė:

$S_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$

Lygiašonio trikampio ploto formulė:

$S_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{ab}{2}}$

Aukštinės ir kraštinės formulė:

$S_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{ah}{2}}$