Funkcijos

Tiesinis reiškinys (tiesinė funkcija)

$f(x)=kx$

$f(x)=3x-4$

$f(3)=3\cdot 3-4=5$
$f(-4)=3\cdot (-4)-4=-16$

Grafikas

Tiesinio reiškinio grafikas yra tiesė. Nubrėžti tiesei pakanka 2 taškų (galimi ir 3)

$f(x)=kx$
$k$ - skaičius

$f(x)=2x$

$x$	$0$	$3$
$f(x)$	$0$	$6$

$g(x)=4x$

$x$	$0$	$1$
$4x$	$0$	$4$

$h(x)=-3x$

$x$	$0$	$2$
$y$	$0$	$6$

• Funkcijos $f(x)=kx$ grafikas yr atiesė, einanti per koordinačių sistemos pradžią $O(0;0)$
• Jei $k>0$
  • Tiesė kyla į viršų (funkcija yra didėjančioji)
  • Kuo $k$ didesnis, tuo tiesė kyla staigiau
• Jei $k<0$
  • Tiesė leidžiasi į apačią (funkcija yra mažėjančioji)
  • Kuo $k$ mažesnis, tuo tiesė statesnė

---

$f(x)=kx+b$

$f(x)=2x-4$

$x$	$0$	$2$
$f(x)$	$-4$	$0$

$g(x)=x+2$

$x$	$0$	$4$
$g(x)$	$2$	$6$

$h(x)=-3x+5$

$x$	$0$	$3$
$h(x)$	$5$	$-4$

$k(x)=-2x+3$

$x$	$0$	$3$
$k(x)$	$3$	$-3$

• Jei $k<0$, tai tiesė kyla į viršų (funkcija didėjančioji)

• Jei $k>0$, tai tiesė leidžiasi žemyn (funkcija mažėjančioji)
  
  

• Skaičius $b$ parodo, kuriame taške tiesė kerta $y$ ašį

• $k$ - tiesės krypties koeficientas

---

$f(x)=a$

$f(x)=4$

$x$	$0$	$1$
$f(x)$	$4$	$4$

$g(x)=-2$

$x$	$0$	$1$
$g(x)$	$-2$	$-2$

• Funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti $x$ ašiai

• Ji - nei didėjanti, nei mažėjanti, o pastovioji
  
  

• Jeigu tiesių krypties koeficientai yra lygūs, tai tiesės yra lygiagrečios

  Jei $k_1=k_2$, tai $\parallel$

  Jei $k_1\ne k_2$, tai $\nparallel$

• Jeigu $k_1\cdot k_2=-1$, tai tiesės yra statmenos

  Jei $k_1\cdot k_2=-1$, tai $\perp$

  Jei $k_1\cdot k_2\ne -1$, tai $\perp ̸$

Tiesinės lygties rašymas iš brėžinio

• Jei tiesė eina per koordinačių sistemos pradžią

  1. Užrašome bendrą funkcijos pavidalą (tiesės lygtį)

     $f(x)=kx$

  2. Surandame tašką, priklausantį tiesei, ir jo koordinates įrašome į funkciją

     $f(x)=kx$;     $y=kx$

     $A(-3;4)$;     $x=-3$;    $y=4$

     $4=k\cdot (-3)$

     $k=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

     $f(x)=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x$

• Jei tiesė neeina per koordinačių pradžią

  1. $f(x)=kx+b$

  2. Randame du taškus, priklausančius tiesei, ir jų koordinates įrašome į funkciją. Gauname lygčių sistemą Ją išsprendę, randame $k$ ir $b$ reikšmes.

  $f(x)=kx+b$;     $y=kx+b$

  $A(4;3)$;     $B(-2;-1;)$

  $\{\begin{array}{l}3=k\cdot 4+b\\ -1=k\cdot (-2)+b\end{array}$

  $\underset{―}{\{\begin{array}{l}4x+b=3\\ -2k+b=1\end{array}+}$

  $3b=1$

  $b={\displaystyle \frac{1}{3}}$

  $4k+b=3$

  $4k+{\displaystyle \frac{1}{3}}=3$

  $4k={\displaystyle \frac{8}{3}}$

  $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$

  $f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$

• Jei sąlyga prašo parašyti funkciją, tada rašome $f(x)=kx$ arba $f(x)=kx+b$

• Jei sąlyga prašo parašyti tiesės lygtį, tada rašome $y=kx$ arba $y=kx+b$

• Kartais būna duoti du taškai (per kuriuos eina tiesė) be brėžinio, tada rašome $f(x)=kx+b$, nes nežinome ar tiesė eina per koordinačių sistemos pradžią.

Teigiamų ir neigiamų funkcijos reikšmių intervalai

$f(x)=0$, kai $x=2$

$f(x)>0$, kai $x\in (2;+\mathrm{\infty })$

$f(x)<0$, kai $x\in (-\mathrm{\infty };2)$

Intervale, kur funkcijos reikšmės yra:

• Teigiamos - grafikas yra virš $x$ ašies

• Neigiamos - grafikas yra žemiau $x$ ašies

$f(x)>0$, kai $x\in (-\mathrm{\infty };5)$

$f(x)<0$, kai $x\in (5;+\mathrm{\infty })$

Teigiamų ir neigiamų reikšmių intervalus galime nustatyti ne tik iš brėžinio, bet ir algebraiškai.

Kaip rasti taškus. kur funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis

Taške, kuriame grafikas kerta $x$ ašį, $y$ koordinatė lygi $0$, todėl ieškodami šio taško koordinačių, į funkciją vietoj $y$ įrašome $0$.

Taške, kuriame grafikas kerta $y$ ašį, $x$ koordinatė lygi $0$, todėl ieškodami šio taško koordinačių, į funkciją vietoj $x$ įrašome $0$.

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+12$

Kerta $Ox$ ašį:

$y=0$$0=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+12$

${\displaystyle \frac{1}{3}}x=12$

$x=36$

Kerta $Oy$ ašį:

$x=0$

$f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0+12=12$

Ats.: Kerta $Ox$ ašį taške $(36;0)$ ir $Oy$ ašį taške $(0;12)$

Tiesės $x=a$ ir $y=a$

Tiesė $x=a$ yra lygiagreti $y$ ašiai ir eina per $x$ ašies tašką $a$

$x=3$

$x=5$

$x=-2$

Tiesė $y=a$ yra lygiagreti $x$ ašiai ir eina per $y$ ašies tašką $a$

$y=2$

$y=-3$

Kaip rasti 2 funkcijų grafikų susikirtimo tašką be brėžinio?

$f(x)=2x-3$     $g(x)=-4x+3$

1. Lygčių sistema

   $\{\begin{array}{l}2x-3=y\\ -4x+3=y\end{array}$

   $\underset{―}{\{\begin{array}{l}4x-6=2y\\ -4x+3=y\end{array}+}$

   $-3=3y$

   $y=-1$

   $2x-3=y$

   $2x-3=-1$

   $2x=2$

   $x=1$

   Ats.: $(1;-1)$

2. Sulyginimas

   $2x-3=-4x+3$

   $2x+4x=3+3$

   $6x=6$

   $x=1$

   $y=2x-3$

   $y=2\cdot 1-3=-1$

   Ats.: $(1-1)$

Kvadratinė funkcija

Kvadratinės funkcijos grafikas - parabolė.

$f(x)=a{x}^2$

Parabolės viršūnė yra koordinaąčių pradžios taške $O(0;0)$

Jei $a>0$, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų.

Jei $a<0$, tai parabolės šakos nukreiptos į apačią.

Grafiką galima braižyti sudarant reiškimių lentelę iš $4$ - $5$ taškų.

1. $f(x)=x^2$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $f(x)$	$0$	$1$	$1$	$4$	$4$

2. $g(x)=-2x^2$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $g(x)$	$0$	$-2$	$-2$	$-8$	$-8$

3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2$

   $x$	$0$	$5$	$-5$	$10$	$-10$
   $h(x)$	$0$	$5$	$5$	$20$	$20$

$f(x)=x^2+c$

Parabolės viršūnė $y$ ašyje, taške $V(0;c)$

1. $f(x)=x^2-6$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $f(x)$	$-6$	$-5$	$-5$	$-2$	$-2$

2. $g(x)=7-2x^2$

   $x$	$0$	$1$	$-1$	$2$	$-2$
   $g(x)$	$7$	$5$	$5$	$-1$	$-1$

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

Grafikas nebraižomas su lentele

1. Askaičiuojame parabolės viršūnės koordinates:

   $V(x_0;y_0)$

   $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$

   $y_0$ randame, įsistatę $x_0$ reikšmę į funkciją

2. Apskaičiuojame taškų koordinates, kuriose parabolė kerta $Ox$ ašį

3. Apskaičiuojame taškų koordinates kuriose parabolė kerta $Oy$ ašį

4. Nustatome parabolės šakų kryptį

5. Brėžiame grafiką

1. $f(x)=x^2-2x+3$

   $V(x_0;y_0)$

   $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{-2}{2\cdot 1}}=1$

   $y_0=1^2-2-3=-4$

   $V(1;–4)$

   Kerta $Ox$, kai $y=0$

   $x^2-2x-3=0$

   $D=b^2-4ac=4-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$

   $x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}={\displaystyle \frac{2+4}{2}}=3$

   $x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}={\displaystyle \frac{2-4}{2}}=-1$

   $(3;0)$; $(-1;0)$

   Kerta $Oy$, kai $x=0$

   $f(0)=0^2-2\cdot 0-3=-3$

   $(0;-3)$

2. $g(x)=6x-x^2$

   $V(x_0;y_0)$

   $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{-6}{-2}}=3$

   $y_0=6\cdot 3-3^2=18-9=9$

   Kerta $Ox$, kai $y=0$

   $6x-x^2=0$

   $x(6-x)=0$

   $x_1=0$

   $6-x=0$

   $x_2=6$

   $(0;0)$; $(6;0)$

   Kerta $Oy$, kai $x=0$

   $6\cdot 0-0^2=0$

   $(0;0)$

Teigiamų ir neigiamų funkcijos reikšmių intervalai

1. $f(x)>0$, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

   $f(x)<0$, kai

   $x\in (-1;2)$

2. $f(x)>0$, kai

   $x\in (1;5)$

   $f(x)<0$, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (5;+\mathrm{\infty })$

3. $f(x)>0$, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

   Nėra $x$ reišmių su kuriomis $f(x)<0$
   (funkcijos reikšmės būtų neigiamos)

Funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalai

1. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x\in (0.5;+\mathrm{\infty })$

   Funkcijos reikšmės mažėja, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };0.5)$

2. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x \in (-\infty; 3)#

   Funkcijos reikšmės mažėja, kai

   $x\in (3;+\mathrm{\infty })$

3. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x\in (-2;+\mathrm{\infty })$

   Funkcijos rekšmės mažėja, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };-2)$

4. Funkcijos reikšmės didėja, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };5)$

   Funkcijos reikšmės mažėja, kai

   $x\in (-\mathrm{\infty };5)$

Funkcijos nuliai. Parabolės simetrijos ašis

Tos $x$ reikšmės, kur funkcijos reikšmė yra $0$, vadinamos funkcijos nuliais.

Vertikali tiesė (lygiagreti $y$ ašiai), einanti per parabolės viršūnę, vadinama parabolės simetrijos ašimi.

1. Funkcijos nuliai: $x=-1$; $x=2$

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis $x=0.5$

2. Funkcijos nuliai: $x=1;x=5$

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis x = 3

3. Funkcija neturi nulių

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis $x=-2$

4. Funkcijos nuliai: $x=4$; $x=6$

   Simetrijos ašis yra tiesė, kurios lygtis $x=5$

Funkcijos reikšmių sritis. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės

1. $y=x^2-x-2$

   $V(x_0;y_0)$

   $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=0.5$

   $y_0={0.5}^2-0.5-2=0.25-0.5-2=-2.25$

   $V(0.6;-2.25)$

   Mažiausia funkcijos reikšmė $y=-2.25$

   Mažiausią reikšmę funkcija įgyja, kai $x=0.5$

   Didžiausios reikšmės funkcija neturi

   Funkcijos reikšmių sritis $y\in [-2.25;+\mathrm{\infty })$

2. $V(3;2)$

   Mažiausios reikšmės funkcija neturi

   Didžiausia funkcijos reikšmė $y=2$

   Didžiausią reikšmę funkcija įgyja, kai $x=3$

   Funkcijos reikšmių sritis $E_f=(-\mathrm{\infty };2]$

3. $V(-2;1)$

   Mažiausia funkcijos reikšmė $y=1$

   Mažiausią reikšmę funkcija įgyja, kai $x=-2$

   Didžiausios reikšmės funkcija neturi

   Funkcijos reikšmių sritis $E(f)=[1;+\mathrm{\infty })$

4. $V(5;-1)$

   Mažiausia funkcijos reikšmė $y=-1$

   Mažiausią reikšmę funkcija įgija, kai $x=5$

   Didžiausios rekšmės funcija neturi

   Funkcijos reikšmių sritis $y\in [-1;+\mathrm{\infty })$

Parabolės lygties rašymas iš brėžinio

Jeigu parabolės viršūnė yra koordinačių pradžios taške $O(0;0)$, tada funkcijos bendrasis pavidalas $f(x)=a{x}^2$

1. $f(x)=a{x}^2$

   $(2;4)$

   $4=a\cdot 2^2$

   $4a=4$

   $a=1$

   $f(x)=x^2$

   Ats.: $f(x)=x^2$

2. $f(x)=a{x}^2$

   $(2;-4)$

   $-4=2^{2}a$

   $a=-1$

   $f(x)=-x^2$

   Ats.: $f(x)=-x^2$

Jeigu parabolės viršūnė yra $y$ ašyje, tada funkcijos bendrasis pavidalas yra $f(x)=a{x}^2+c$

3. $f(x)=a{x}^2+c$

   $c=-4$

   $f(x)=a{x}^2-4$

   $(2;0)$

   $a{2}^2-4=0$

   $4a-4=0$

   $4a=4$

   $a=1$

   $f(x)=x^2-4$

   Ats.: $f(x)=x^2-4$

4. $f(x)=a{x}^2+b$

   $c=-3$

   $f(x)=a{x}^2-3$

   $(1;–2)$

   $1a-3=-2$

   $a=1$

   $f(x)=x^2-3$

   Ats.: $f(x)=x^2-3$

5. $f(x)=a{x}^2+b$

   $c=3$

   $f(x)=a{x}^2+3$

   $(1;4)$

   $a+3=4$

   $a=1$

   $f(x)=x^2+3$

Jeigu parabolės viršūnė yra ne koordinačių sistemos pradžioje ir ne $y$ ašyje, tada funkcijos bendrasis pavidalas yra $f(x)=a{x}^2+bx+c$

6. $f(x)=a{x}^2+bx+c$

   $(-2;1)$, $(0;3)$

   $\{\begin{array}{l}a\cdot (-2{)}^2+b\cdot (-2)+c=-1\\ a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=3\\ -{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-2\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}4a-2b+c=-1\\ c=3\\ b=4a\end{array}$

   $4a-2(4a)+3=-1$

   $4a-8a+3=-1$

   $-4a+3=-1$

   $a=1$

   $b=4a=4\cdot 1=4$

   $f(x)=x^2+4x+3$

   Ats.: $f(x)=x^2+4x+3$

7. $f(x)=a{x}^2+bx+c$

   $(2;7)$, $(3;6)$

   $\{\begin{array}{l}a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=7\\ a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=6\\ -{\displaystyle \frac{b}{2a}}=2\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}4a+2b+c=7\\ 9a+3b+c=6\\ b=-4a\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}4a+2\cdot (-4a)+c=7\\ 9a+3\cdot (-4a)+c=6\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}4a-8a+c=7\\ 9a-12a+c=6\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}-4a+c=7\\ -3a+c=6\end{array}$

   $\underset{―}{\{\begin{array}{l}-4a+c=7\\ 3a-c=-6\end{array}+}$

   $-a=1$

   $a=-1$

   $b=-4a=-4\cdot (-1)=4$

   $3a-c=-6$

   $3\cdot (-1)-c=-6$

   $-3-c=-6$

   $-c=-3$

   $c=3$

   $f(x)=-x^2+4x+3$

   Ats.: $f(x)=-x^2+4x+3$

8. $f(x)=a{x}^2+bx+c$

   $(1;2)$, $(3;0)$

   $\{\begin{array}{l}a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=2\\ a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=0\\ -{\displaystyle \frac{b}{2a}}=1\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}a+b+c=2\\ 9a+3b+c=0\\ b=-2a\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}a-2a+c=2\\ 9a-6a+c=0\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}-a+c=2\\ 3a+c=0\end{array}$

   $\underset{―}{\{\begin{array}{l}-a+c=2\\ -3a-c=0\end{array}+}$

   $-4a=2$

   $a=-0.5$

   $b=-2a=-2\cdot (-0.5)=1$

   $-a+c=2$

   $0.5+c=2$

   $c=1.5$

   $f(x)=-0.5x^2+x+1.5$

   Ats.: $f(x)=-0.5x^2+x+1.5$

Parabolių braižymo atskyri atvejai

1. $f(x)=x^2-4x+4$

   $V(x_0;y_0)$

   $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{-4}{2}}=2$

   $y_0=2^2-4\cdot 2+4=4-8+4=0$

   $V(2;0)$

   Kerta $Ox$, kai $y=0$

   $x^2-4x+4=0$

   $(x-2{)}^2=0$

   $x=2$

   $(2;0)$

   Kerta $Oy$, kai $x=0$

   $0^2-4\cdot 0+4=4$

   $(0;4)$

   $x$	$4$	$3$	$1$
   $f(x)$	$4$	$1$	$1$

2. $f(x)=x^2-2x+2$

   $V(x_0;y_0)$

   $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{-2}{2}}=1$

   $y_0=1^2-2\cdot 1+2=1-2+2=1$

   $V(1;1)$

   Kerta $Ox$, kai $y=0$

   $x^2-2x+2=0$

   $D=b^2-4ac=4-8=-4$

   Lygtis sprendinių neturi

   Parabolė nekerta $x$ ašies

   Kerta $Oy$, kai $x=0$

   $0^2-2\cdot 0+2=2$

   $(0;2)$

   $x$	$-1$	$3$
   $f(x)$	$5$	$5$

Kvadratinių grafikų transformacijos

Pakeitus formulę transformuojasi funkcijos grafikas

Funkcijos $f(x)=a{x}^2$ koeficientas $a$ daro įtaką šakų išsiplėtimui arba susigrūdimui, kuo skaičius $|a|$ didesnis, tuo labiau parabolės šakos glaudžiasi prie $y$ ašies.

$f(x)=a{x}^2+c$

Jeigu skaičius $c$ teigiamas, grafikas kyla per $c$ vienetus

Jeigu skaičius $c$ neigiamas, grafikas leidžiasi per $c$ vienetus

---

$f(x)=a(x+m{)}^2$     $\leftarrow$

$f(x)=a(x-m{)}^2$     $\to$

Vienoje funkcijoje gali būti kelios transformacijos

Parabolės lygtis rašoma pavidalu $f(x)=a(x+m{)}^2+n$

1. Pagal viršūnės padėtį nustatome $m$ ir $n$ reikšmes

2. Pasirinkę konkretų tašką, įrašome jo koordinates į parabolės lygtį ir apskaičiuojame $a$ reikšmę

1. $f(x)=a(x+m{)}^2+n$

   $m=-1$

   $n=-1$

   $f(x)=a(x-1{)}^2-1$

   $(3;3)$

   $3=a(3-1{)}^2-1$

   $3=a\cdot 2^2-1$

   $3=4a-1$

   $4a=4$

   $a=1$

   $f(x)=(x-1{)}^2-1$

   Ats.: $f(x)=(x-1{)}^2-1$

2. $f(x)=a(x+m{)}^2+n$

   $m=-1$

   $n=-1$

   $f(x)=a(x-1{)}^2-1$

   $(2;2)$

   $-2=a(2-1{)}^2-1$

   $-2=a\cdot 1^2-1$

   $-2=a-1$

   $a=-1$

   $f(x)=-(x-1{)}^2-1$

   Ats.: $f(x)=-(x-1{)}^2-1$

Lygčių sistemų sprendimas pasinaudojant funkcijų grafikais

1. $\{\begin{array}{l}y=x^2-5x+6\\ y=2x-6\end{array}$

   1. $y=2x-6$

      $f(x)=2x-6$

      $(2;-2)$, $(3;0)$

   2. $y=x^2-5x+6$

      $f(x)=x^2-5x+6$

      $V(x_0;y_0)$

      $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{5}{2}}=2.5$

      $y_0=(2.5{)}^2-5\cdot 2.5+6=-0.25$

      $V(2.5;-0.25)$

      Kerta $Ox$, kai $y=0$

      $x^2-5x+6=0$

      $(x-2)(x-3)=0$

      $x=2$; $x=3$

      $(2;0)$; $(3;0)$

      Kerta $Oy$, kai $x=0$

      $0^2-5\cdot 0+6=6$

      $(0;6)$

      Ats.: $(3;0)$

2. $\{\begin{array}{l}y=x^2+4x+3\\ y=4x+4\end{array}$

   1. $y=4x+4$

      $f(x)=4x+4$

      $(0;4)$, $(-1;0)$

   2. $y=x^2+4x+3$

      $f(x)=x^2+4x+3$

      $V(x_0;y_0)$

      $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{4}{2}}=-2$

      $y_0=(-2{)}^2+4\cdot (-2)+3=-1$

      $V(-2;-1)$

      Kerta $Ox$, kai $y=0$

      $x^2+4x+3=0$

      $(x+1)(x+3)=0$

      $x=-1$; $x=-3$

      $(-1;0)$; $(-3;0)$

      Kerta $Oy$, kai $x=0$

      $0^2+4\cdot 0+3=3$

      $(0;3)$

      Ats.: $(-1;0)$, $(1;8)$